\documentclass{physlecture}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{bm, amsmath, amssymb, amsfonts}
\usepackage{float, graphicx}
%\usepackage{flexisym, breqn, bracemath}
\usepackage{mymathutils}

\author{Д.\,А.~Паршин, Г.\,Г.~Зегря}
\lecturenumber{15}
\course{Квантовая механика}

\newcommand{\conjug}[1]{#1^*}
\DeclareMathOperator{\Rot}{rot}
\DeclareMathOperator{\Div}{div}
\DeclareMathOperator{\Grad}{grad}
\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}}
\begin{document}
  \maketitle
  \tableofcontents

  \section{Дифференцирование операторов по времени.}
    Понятие о производной физической величины по времени не может быть определено
    в квантовой механике в том смысле, какой оно имеет в классической механике.
    Действительно, определение производной в классической механике связано с
    рассмотрением значений величины в два близких, но различных момента времени.
    Но в квантовой механике величина, имеющая в некоторый момент определённое
    значение, не имеет в следующие моменты вообще никакого определённого значения.

    Поэтому понятие производной по времени должно быть определено в квантовой
    механике иным образом. Естественно определить производную \(\dot{f}\) от
    величины \(f\) как величину, среднее значение которой равно производной
    по времени от среднего значения \(f\). Таким образом, имеем по определению
    \begin{equation}
      \bar{\dot{f}} = \dot{\bar{f}}.
    \label{eq:DerivativeDefinition}
    \end{equation}
    Исходя из этого определения нетрудно получить выражение для квантовомеханического
    оператора \(\hat{\dot{f}}\), соответствующего величине \(\dot{f}\):
    \begin{equation*}
      \bar{\dot{f}} = \dot{\bar{f}} = \frac{d}{dt}\int \conjug{\psi}\hat{f} \psi dq=
      \int \conjug{\psi}\frac{\partial \hat{f}}{\partial t}\psi dq +
      \int \frac{\partial\conjug{\psi}}{\partial t}\hat{f}\psi dq +
      \int \conjug{\psi}\hat{f}\frac{\partial\psi}{\partial t}dq.
    \end{equation*}
    Здесь \(\frac{\partial\hat{f}}{\partial t}\) есть оператор, получающийся
    дифференцированием оператора \(\hat{f}\) по времени, от которого последний
    может зависеть как от параметра. Подставляя
    \begin{align*}
      \frac{\partial\psi}{\partial t} &= -\frac{i}{\hbar}\hat{H}\psi, &
      \frac{\partial\conjug{\psi}}{\partial t} &= \frac{i}{\hbar}\conjug{\hat{H}}\conjug{\psi},
    \end{align*}
    получим
    \begin{align*}
      \bar{\dot{f}} &= 
      \int \conjug{\psi}\frac{\partial \hat{f}}{\partial t}\psi dq +
      \frac{i}{\hbar}\int \left( \conjug{\hat{H}}\conjug{\psi} \right)\hat{f}\psi dq -
      \frac{i}{\hbar}\int \conjug{\psi}\hat{f}\left( \hat{H}\psi \right)dq.
    \end{align*}
    Поскольку оператор \(\hat{H}\) эрмитов,
    \begin{equation*}
      \int \left( \conjug{\hat{H}}\conjug{\psi} \right)\hat{f}\psi dq =
      \int \conjug{\psi} \conjug{\tilde{\hat{H}}} \hat{f}\psi dq =
      \int \conjug{\psi} \hat{H}\hat{f}\psi dq.
    \end{equation*}
    Таким образом, имеем
    \begin{align*}
      \bar{\dot{f}} &= 
      \int \conjug{\psi}\frac{\partial \hat{f}}{\partial t}\psi dq +
      \frac{i}{\hbar}\int \left( \conjug{\hat{H}}\conjug{\psi} \right)\hat{f}\psi dq -
      \frac{i}{\hbar}\int \conjug{\psi}\hat{H}\hat{f}\psi dq =\\
      &= \int \conjug{\psi} \underbrace{\left( 
        \frac{\partial\hat{f}}{\partial t} +
        \frac{i}{\hbar} \hat{H}\hat{f} -
        \frac{i}{\hbar} \hat{f}\hat{H}
      \right)}_{\hat{\dot{f}}}\psi dq.
    \end{align*}
    Получилось выражение для производной оператора физической величины:
    \begin{equation}
      \hat{\dot{f}} = \frac{\partial\hat{f}}{\partial t} +
        \frac{i}{\hbar} \left(\hat{H}\hat{f} - \hat{f}\hat{H}\right).
    \label{eq:DerivativeFormulae}
    \end{equation}
  \section{Сохраняющиеся величины.}
    Если оператор \(\hat{f}\) не зависит от времени явно, то
    \begin{equation}
      \hat{\dot{f}} = \frac{i}{\hbar}\left(\hat{H}\hat{f} - \hat{f}\hat{H}\right),
    \label{eq:DerivativeFormulaeShort}
    \end{equation}
    т.\,е. его производная сводится, с точностью до множителя, к \emph{коммутатору}
    оператора \(\hat{f}\) с гамильтонианом.

    Очень важной категорией физических величин являются те, операторы которых,
    во-первых, не зависят явно от времени, и, во-вторых, коммутируют с
    гамильтонианом. Производная таких операторов, как видно из
    \eqref{eq:DerivativeFormulaeShort}, равна нулю. Эти величины называют
    \emph{сохраняющимися}. Так как их производная равна нулю, для них
    оказывается также \(\bar{\dot{f}} = \dot{\bar{f}} = 0\), то есть, \(\bar{f}
    = \const\). Другими словами, среднее значение такой величины остаётся
    постоянным во времени.
  \section{Операторное уравнение Ньютона.}
    В классической механике скорость частицы \(\vec{v}\) связана с её импульсом
    соотношением \(\vec{p} = m\vec{v}\). В квантовой механике, как и следовало
    ожидать, такая же связь имеется между соответствующими операторами. В этом
    легко убедиться, вычислив оператор \(\hat{v} = \hat{\dot{r}}\) по общему
    правилу дифференцирования операторов по времени
    \eqref{eq:DerivativeFormulaeShort}:
    \begin{equation*}
      \hat{v} = \frac{i}{\hbar}\left( \hat{H}\vec{r} - \vec{r}\hat{H} \right).
    \end{equation*}
    Гамильтониан определяется формулой
    \begin{equation*}
      \hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + U(\vec{r}).
    \end{equation*}
    Очевидно, что \(U(\vec{r})\) коммутирует с \(\vec{r}\), поэтому
    \begin{equation*}
      \hat{\vec{v}} = \frac{i}{\hbar}\frac{1}{2m}\left( \hat{p}^2\vec{r} -
      \vec{r}\hat{p}^2 \right) = \frac{i}{\hbar}\frac{1}{2m}\left[
      (i\hbar)^2\Delta\vec{r} - \vec{r}(i\hbar)^2\Delta \right] = 
      -\frac{i\hbar}{2m}\left[ \Delta\vec{r} - \vec{r}\Delta \right].
    \end{equation*}
    Найдём результат действия оператора
    \begin{equation*}
      \hat{v}_x = -\frac{i\hbar}{2m}\left[ \Delta x - x \Delta \right]
    \end{equation*}
    на произвольную волновую функцию \(\psi(\vec{r})\). Для этого сначала
    найдём \(\Delta(x\psi)\):
    \begin{align*}
    \Delta(x\psi) &= \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} +
      \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)(x\psi) =\\
    &\begin{aligned}
      = \frac{\partial^2}{\partial x^2}(x\psi) +
        x\left(\frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)\psi &=\\
      = \frac{\partial}{\partial x}\left( \psi + x\frac{\partial\psi}{\partial x} \right) + 
        x\left(\frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)\psi &=\\
      = \frac{\partial\psi}{\partial x} +
        \frac{\partial}{\partial x}\left( x\frac{\partial\psi}{\partial x} \right) +
        x\left(\frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)\psi &=\\
      = \frac{\partial\psi}{\partial x} + \frac{\partial\psi}{\partial x} +
         + x\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + 
        x\left(\frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)\psi &=
    \end{aligned}\\
      &= 2\frac{\partial\psi}{\partial x} + x\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2}
      + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)\psi 
      = \left[2\frac{\partial}{\partial x} + x\Delta\right]\psi.
    \end{align*}
% The same formulae aligned to the left.
%
%    \begin{align*}
%      \Delta(x\psi) &=
%        \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} +\frac{\partial^2}{\partial y^2}
%        +  \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)(x\psi) =
%        \frac{\partial^2}{\partial x^2}(x\psi) +
%        x\left(\frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)\psi =\\
%      &= \frac{\partial}{\partial x}\left( \psi + x\frac{\partial\psi}{\partial x} \right) + 
%        x\left(\frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)\psi =\\
%      &= \frac{\partial\psi}{\partial x} +
%        \frac{\partial}{\partial x}\left( x\frac{\partial\psi}{\partial x} \right) +
%        x\left(\frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)\psi =\\
%      &= \frac{\partial\psi}{\partial x} + \frac{\partial\psi}{\partial x} +
%         + x\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + 
%        x\left(\frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)\psi =\\
%      &= 2\frac{\partial\psi}{\partial x} + x\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2}
%      + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)\psi 
%      = \left[2\frac{\partial}{\partial x} + x\Delta\right]\psi.
%    \end{align*}
    Таким образом, коммутатор равен просто \(2\frac{\partial}{\partial x}\).
    Поэтому
    \begin{equation*}
      \hat{v}_x = -\frac{i\hbar}{2m}2\frac{\partial}{\partial x} =
      \frac{1}{m}\left( -i\hbar\frac{\partial}{\partial x} \right) =
      \frac{1}{m}\hat{p}_x.
    \end{equation*}
    Проделав то же самое с остальными проекциями, получим это уравнение в
    векторной форме:
    \begin{equation}
      \hat{\vec{v}} = \frac{\hat{\vec{p}}}{m}.
    \label{eq:MomentumAndVelocity}
    \end{equation}

    Далее найдём оператор ускорения. Имеем
    \begin{equation*}
      \hat{\dot{\vec{v}}} = \frac{i}{\hbar}\left( \hat{H}\hat{\vec{v}} -
      \hat{\vec{v}}\hat{H} \right) =
      \frac{i}{\hbar m}\left( \hat{H}\hat{\vec{p}} - \hat{\vec{p}}\hat{H} \right).
    \end{equation*}
    Поскольку \(\hat{\vec{p}}\) коммутирует с оператором кинетической энергии
    \(\frac{\hat{\vec{p}}{\kern+1pt}^2}{2m}\), остаётся коммутатор с оператором
    потенциальной энергии:
    \begin{align*}
      \hat{\dot{\vec{v}}} = \frac{i}{m\hbar}\left( U\hat{\vec{p}} - \hat{\vec{p}}U \right) =
      \frac{i}{m\hbar}\left[ U(-i\hbar\nabla) - (-i\hbar\nabla)U \right] =
      \frac{1}{m}\left[ U\nabla - \nabla U \right].
    \end{align*}
    Вычислим результат действия этого коммутатора на волновую функцию \(\psi\):
    \begin{equation*}
      U(\nabla\psi) - \nabla(U\psi) = U(\nabla\psi) - \psi\nabla U -
      U(\nabla\psi) = -\psi\nabla U.
    \end{equation*}
    Поэтому,
    \begin{equation*}
      \hat{\dot{\vec{v}}} = \frac{1}{m}\left[ U\nabla - \nabla U \right] =
      -\frac{1}{m}\nabla U,
    \end{equation*}
    или
    \begin{equation}
      m\hat{\dot{\vec{v}}} = -\nabla U.
    \label{eq:Newton}
    \end{equation}
    Это операторное уравнение по форме в точности совпадает с уравнением движения
    (уравнением Ньютона) классической механики.
  \section{Взаимная ортогональность волновых функций состояний с различной энергией.}
    Полезно показать, каким образом непосредственно из уравнения Шрёдингера
    следует взаимная ортогональность волновых функций состояний с различной
    энергией. Пусть \(\psi_m\) и \(\psi_n\) --- две такие функции; они удовлетворяют
    уравнениям
    \begin{align*}
      -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi_m + U\psi_m &= E_m\psi_m, \\
      -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\conjug{\psi_n} + U\conjug{\psi_n} &= E_n\conjug{\psi_n}.
    \end{align*}
    Умножим первое уравнение на \(\conjug{\psi_n}\), а второе --- на \(\psi_m\),
    после чего вычтем его из первого:
    \begin{equation*}
      (E_m - E_n) \psi_m\conjug{\psi_n} = \frac{\hbar^2}{2m}\left(
      \psi_m\Delta\conjug{\psi_n} -\conjug{\psi_n}\Delta\psi_m \right) =
      \frac{\hbar^2}{2m}\Div\left(
      \psi_m\nabla\conjug{\psi_n} -\conjug{\psi_n}\nabla\psi_m \right).
    \end{equation*}
    Если теперь проинтегрировать обе стороны уравнения по всему пространству,
    то правая сторона, будучи преобразована по теореме Гаусса в интеграл по 
    поверхности \(S\), обратится в ноль если \(S \to \infty\). В результате,
    \begin{equation*}
      (E_m - E_n) \int \psi_m\conjug{\psi_n}dV = 0,
    \end{equation*}
    откуда в случае состояний с разными энергиями (\(E_m \neq E_n\)) следует
    искомое соотношение ортогональности:
    \begin{equation*}
      \int \psi_m\conjug{\psi_n}dV = 0.
    \end{equation*}

\end{document}
